Question

8．（1）已知函数$f（x）=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$．求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）已知奇函数f（x）的定义域为R，x∈（-∞，0）时f（x）=-x²-x-1，求f（x）解析式．

Answer 1

分析 （1）利用函数定义域和函数奇偶性的定义进行求解和判断．
（2）根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）有意义，须满足$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥0}\\{1-x≤0}\end{array}\right.$，得-1≤x≤1，
故函数定义域是{x|-1≤x≤1}---（2分）
∵f（-x）=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．…（5分）
（2）∵奇函数f（x）的定义域为R，
∴f（0）=0，
若x＞0，则-x＜0，
即f（-x）=-x²+x-1=-f（x），
即f（x）=x²-x+1，x＞0，
故函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-x-1，}&{x＜0}\\{0}&{x=0}\\{{x}^{2}-x+1，}&{x＞0}\end{array}\right.$…12

点评 本题主要考查函数定义域，函数奇偶性和函数解析式的求解，利用定义法和函数奇偶性的性质是解决本题的关键．