Question

18．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（log₃x+m），x∈[$\frac{1}{3}$，3]的最小值为3，求实数m的值；
（3）若对任意互不相同的x₁，x₂∈（2，4），都有|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求得结果；
（2）令t=log₃x，（-1≤t≤1），则y=（t+m-1）²+2，由题意可得最小值只能在端点处取得，分别求得m的值，加以检验即可得到所求值；
（3）判断f（x）在（2，4）递增，设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），原不等式即为f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，由题意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）递减．由g（x）=x²-（2+k）x+3，求得对称轴，由二次函数的单调区间，即可得到所求范围．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因为f（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-2x+3；
（2）由于f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
函数y=f（log₃x+m）=（log₃x+m-1）²+2，
令t=log₃x，（-1≤t≤1），则y=（t+m-1）²+2，
由题意可知最小值只能在端点处取得，
若t=1时，取得最小值3，即有m²+2=3，解得m=±1，
当m=1时，函数y=t²+2在区间[-1，1]的最小值为2，
则m=1舍去；
当m=-1时，函数y=（t-2）²+2在区间[-1，1]递减，
可得t=1时取得最小值且为3；
若t=-1时，取得最小值3，即有（m-2）²+2=3，解得m=3或1，
当m=1时，函数y=t²+2在区间[-1，1]的最小值为2，
则m=1舍去；
当m=3时，函数y=（t+2）²+2在区间[-1，1]递增，
可得t=-1时取得最小值且为3．
综上可得，m的值为-1或3；
（3）由于f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
即有f（x）在（2，4）递增，
设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|即为f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），
即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，
由题意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）递减．
由g（x）=x²-（2+k）x+3，对称轴为x=$\frac{2+k}{2}$，
即有$\frac{2+k}{2}$≥4，解得k≥6，
则实数k的取值范围为[6，+∞）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法和恒等式的结论，考查函数的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造法，属于中档题．