Question

9．已知函数f（x）=4x²-kx-8．
（1）若函数y=f（x）在区间[2，10]上单调，求实数k的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在区间（-∞，2]上有最小值-12，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）讨论y=f（x）在区间[2，10]上的单调性，可得对称轴与区间的关系，解不等式即可得到所求范围；
（2）讨论对称轴和区间的关系，可得对称轴处取最小值；或在2处取最小值，分别得到关于k的方程解之即可得到所求值．

解答 解：（1）函数f（x）=4x²-kx-8的对称轴为x=$\frac{k}{8}$，
若函数y=f（x）在区间[2，10]上单调递增，
即有$\frac{k}{8}$≤2，解得k≤16；
若函数y=f（x）在区间[2，10]上单调递减，
即有$\frac{k}{8}$≥10，解得k≥80．
则实数k的取值范围为k≥80或k≤16；
（2）当$\frac{k}{8}$≥2即k≥16时，区间（-∞，2]为减区间，
即有f（2）为最小值，且为16-2k-8=-12，解得k=10＜16，不成立；
当$\frac{k}{8}$＜2即k＜16时，区间（-∞，$\frac{k}{8}$）递减，（$\frac{k}{8}$，2]为增区间，
即有f（$\frac{k}{8}$）为最小值，且为-8-$\frac{{k}^{2}}{16}$=-12，解得k=±8．
综上可得，k的值为±8．

点评 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法，关键要明确对称轴与区间的位置关系，求得区间的单调性，属于中档题．