Question

14．某小区设计一屋顶阁楼的截面图为等腰三角形，顶角为120°，腰长为4m，预备要开一矩形窗户，窗宽为x（m），试求：
（1）窗户的采光面积y（m²）与窗宽x（m）之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）当窗户的长、宽分别为多少时，窗户的采光面积最大？并求出最大采光面积．

Answer 1

分析 （1）求出矩形的长，即可求出面积；
（2）利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，等腰三角形的高为2m，底边长为4$\sqrt{3}$m，
设矩形的长为2am，则$\frac{a}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2-x}{2}$，∴a=$\sqrt{3}$（2-x），
∴y=2ax=2$\sqrt{3}$x（2-x）（0＜x＜2）；
（2）∵x（2-x）≤$[\frac{x+（2-x）}{2}]^{2}$=1，当且仅当x=2-x，即x=1时，取等号，
∴宽x=1m，长为2$\sqrt{3}$m时，窗户的采光面积最大，最大采光面积是2$\sqrt{3}$m²．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，正确确定函数关系式是关键．