Question

4．已知函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且在（-∞，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（2，+∞）
• C． （-2，2）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 由题意，函数f（x）是奇函数，f（2）=0，关于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0，等价于xf（x）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，即可求出关于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集．

解答 解：由题意，函数f（x）是奇函数，f（2）=0，
关于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0，等价于xf（x）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴x＞2或x＜-2，
故选：A．

点评 本题考查求关于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集，考查函数的奇偶性，正确转化是关键．