Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

3

2

．
（1）求f(

1

2

)的值；
（2）若数列{a_n}满足an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)  (n∈{N，求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

2

4an-5

 (n∈{N，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）在f(x)+f(1-x)=

3

2

中，令x=

1

2

，可求出f(

1

2

)的值；
（2）利用倒序相加法可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据数列{C_n}的通项公式的特点可利用裂项求和法进行求解．

解答：解：（1）在f(x)+f(1-x)=

3

2

中，
令x=

1

2

得f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=

3

2

∴f(

1

2

)=

3

4

（2）∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
根据f(x)+f(1-x)=

3

2

，
∴f（0）+f（1）=

3

2

，f(

1

n

)+f(

n-1

n

) =

3

2

，…
∴2an=

3(n+1)

2

∴an=

3n+3

4

（3）∵bn=

2

4an-5

=

2

3n-2

∴Cn=bnbn+1=

4

(3n-2)(3n+1)

=

4

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴T_n=C₁+C₂+…C_n=

4

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)]=

4

3

(1-

1

3n+1

)=

4n

3n+1

点评：本题主要考查了倒序相加法求数列的通项，以及利用裂项求和法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．