Question

8．已知椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，其左右焦点分别为F₁，F₂，过其左焦点且斜率为1的直线与该椭圆相交与A，B两点，则$\frac{1}{|{F}_{1}A|}+\frac{1}{|{F}_{1}B|}$=4．

Answer 1

分析 由题意可知：焦点在x轴上，a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，左焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），设直线AB的方程为：y=x+$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，由x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{5}{4}}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁•x₂=$\frac{8}{5}$，y₁•y₂=（x₁+$\sqrt{3}$）（x₂+$\sqrt{3}$）=-$\frac{1}{5}$，丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{8}{5}$，由两点之间的距离公式可知：丨F₁A丨•丨F₁B丨=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+{y}_{2}^{2}}$=2丨y₁•y₂丨，则$\frac{1}{|{F}_{1}A|}+\frac{1}{|{F}_{1}B|}$=$\frac{丨{F}_{1}A丨+丨{F}_{1}B丨}{丨{F}_{1}A丨•丨{F}_{1}B丨}$=$\frac{丨AB丨}{丨{F}_{1}A丨•丨{F}_{1}B丨}$，即可求得$\frac{1}{|{F}_{1}A|}+\frac{1}{|{F}_{1}B|}$的值．

解答 解：由椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，焦点在x轴上，a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则左焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），设直线AB的方程为：y=x+$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{5}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{5}{4}}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁•x₂=$\frac{8}{5}$，
y₁•y₂=（x₁+$\sqrt{3}$）（x₂+$\sqrt{3}$）=x₁•x₂+$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+3=-$\frac{1}{5}$，
由弦长公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}}$=$\frac{8}{5}$，
丨F₁A丨•丨F₁B丨=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+{y}_{2}^{2}}$=2丨y₁•y₂丨
则$\frac{1}{|{F}_{1}A|}+\frac{1}{|{F}_{1}B|}$=$\frac{丨{F}_{1}A丨+丨{F}_{1}B丨}{丨{F}_{1}A丨•丨{F}_{1}B丨}$=$\frac{丨AB丨}{丨{F}_{1}A丨•丨{F}_{1}B丨}$=$\frac{\frac{8}{5}}{2×\frac{1}{5}}$=4，
故答案为：4．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式即弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．