Question

18．已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求证：数列log_ma_n=2n+2，{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=$\sqrt{2}$时，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得：log_ma_n=2n+2，即${a_n}={m^{2n+2}}$，可得{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n=a_nf（a_n）=（2n+2）2ⁿ⁺¹，利用错位相减法，可得S_n．

解答 证明：（Ⅰ）由题意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，即log_ma_n=2n+2，
∴${a_n}={m^{2n+2}}$
∴{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列
解：（Ⅱ）当m=$\sqrt{2}$时，${a}_{n}={2}^{n+1}$
b_n=a_nf（a_n）=（2n+2）2ⁿ⁺¹，
S_n=4•2²+6•2³+8•2⁴+…+（2n+2）•2ⁿ⁺¹，…①
2S_n=4•2³+6•2⁴+…+（2n）•2ⁿ⁺¹+（2n+2）•2ⁿ⁺²，…②
②-①并整理，得S_n=2ⁿ⁺³•n

点评 本题考查的知识点是数形求和，对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．