Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，2a_n+1=2a_n+1，n∈N⁺．数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=9-(

1

3

)n-2，n∈N⁺．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，n∈N⁺．求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1=2a_n+1得a_n+1-a_n=

1

2

，
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
于是a_n=a₁+（n-1）d=

n+1

2

，
当n=1时，b₁=S₁=9-(

1

3

)1-2=9-3=6，
当n≥2时，S_n-1=9-(

1

3

)n-3，
则b_n=S_n-S_n-1=9-(

1

3

)n-2-[9-(

1

3

)n-3]=

2

3n-2

，
又n=1时，

2

3n-2

=6=b₁，
所以b_n=

2

3n-2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

n+1

2

，b_n=

2

3n-2

，
所以c_n=a_n•b_n=（n+1）(

1

3

)n-2，
所以T_n=2×（

1

3

）^-1+3×（

1

3

）⁰+4×（

1

3

）¹+…+（n+1）×（

1

3

）^n-2 …（1）
等式两边同乘以

1

3

得

1

3

T_n=2×（

1

3

）⁰+3×（

1

3

）¹+4×（

1

3

）²+…+（n+1）×（

1

3

）^n-1…（2）
（1）-（2）得

2

3

T_n=2×（

1

3

）^-1+（

1

3

）⁰+（

1

3

）¹+…+×（

1

3

）^n-2-（n+1）×（

1

3

）^n-1=6+

1-( 1 3 )n-1

1- 1 3

-（n+1）×（

1

3

）^n-1，
所以T_n=

45

4

-

2n+5

4

•（

1

3

）^n-2．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键．