Question

如图，已知：|AC|=|BC|=2，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则

AM

•

DC

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：建系可得

AM

和

DC

的坐标，进而可得

AM

•

DC

的表达式，由三角函数的值域可得．

解答： 解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，0），C（1，0），），
O（0，0），M（1，-1），设D（cosα，sinα）．
∴

AM

=（2，-1），

DC

=（1-cosα，-sinα）．
∴

AM

•

DC

=2（1-cosα）+sinα
=2+sinα-2cosα
=2+

5

sin（α-θ），其中tanθ=2．
∵sin（α-θ）∈[-1，1]，
∴2+

5

sin（α-θ）∈[2-

5

，2+

5

]，
∴

AM

•

DC

的取值范围是[2-

5

，2+

5

]
故答案为：[2-

5

，2+

5

]，

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的值域，建系是解决问题的关键，属中档题．