Question

9．如图，已知抛物线C：x²=4y，直线l₁与C相交于A，B两点，线段AB与它的中垂线l₂交于点G（a，1）（a≠0）．
（Ⅰ）求证：直线l₂过定点，并求出该定点坐标；
（Ⅱ）设l₂分别交x轴，y轴于点M，N，是否存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线的方程，相减，由直线的斜率公式可得AB的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求得直线l2的方程，化简可得定点；
（Ⅱ）求得l₂经过的点M，N，假设存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，运用中垂线的性质可得∠MAN=90°，即有|AG|²=|MG|•|NG|，联立直线AB的方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，进而得到|AG|，再由两点的距离公式，化简整理解方程即可得到所求a的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}x_1^2=4{y_1}\\ x_2^2=4{y_2}\end{array}\right.$，两式相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=4（y₁-y₂），
可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{2a}{4}$=$\frac{1}{2}$a，
由两直线垂直的条件可得直线l₂的斜率为-$\frac{2}{a}$；
即有直线${l_2}：y=-\frac{2}{a}（x-a）+1$，
可得${l_2}：y=-\frac{2}{a}x+3$过定点（0，3）；
（Ⅱ）${l_2}：y=-\frac{2}{a}x+3$过$M（\frac{3a}{2}，0）$，N（0，3），
假设存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，
由中垂线的性质可得∠MAN=∠MBN，
可得∠MAN=90°，即有|AG|²=|MG|•|NG|，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{2}（x-a）+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，可得x²-2ax+2a²-4=0，
x₁+x₂=2a，x₁x₂=2a²-4，
由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{a}^{2}-4（2{a}^{2}-4）}$=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•$\sqrt{16-4{a}^{2}}$，
即有|MG|•|NG|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4+{a}^{2}}$=（$\frac{|AB|}{2}$）²=（1+$\frac{{a}^{2}}{4}$）•（4-a²），
所以$（1+\frac{a^2}{4}）（4-{a^2}）=\frac{1}{2}（{a^2}+4）$
所以a²=2，解得$a=±\sqrt{2}$．
故存在这样的实数a，且为±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，考查直线的斜率和方程的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．