Question

f（x）=x²+ax+（b-2），x=u+

1

u

，若f（x）=0至少有一个实根，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：综合题

分析：利用基本不等式，求出x≤-2或x≥2．由f（x）=x²+ax+（b-2）=0至少有一个实根，可得f（2）≤0或者f（-2）≤0，结合线性规划知识，可求a²+b²的最小值．

解答： 解：∵x=u+

1

u

，
∴当u＞0时，x=u+

1

u

≥2，当且仅当u=

1

u

，即u=1时取等号；
当u＜0时，x=-[（-u）+（-

1

u

）]≤-2，当且仅当-u=-

1

u

，
即u=-1时取等号，
∴x≤-2或x≥2．
∴f（x）=x²+ax+（b-2）=0至少有一个实根，
∴f（2）≤0或者f（-2）≤0，
所以2a+b+2≤0或者-2a+b+2≤0，
画出a，b的直角坐标系，代表两条直线的下方区域（注意取的是并集）
显然这个区域里面的点到原点最近的距离有两个，也就是原点到两条直线的距离d=

2

5

，
∴a²+b²的最小值是

4

5

．

点评：本题主要考查基本不等式、一元二次函数、一元二次方程以及推理运算能力，运用了数形结合思想方法，是高考考查的重点内容．