Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，斜率为1的直线与椭圆交于A，B．则线段AB的中点轨迹方程为$9x+16y=0（{-\frac{16}{5}≤x≤\frac{16}{5}}）或（{-\frac{9}{5}≤y≤\frac{9}{5}}）或（椭圆内部）$．

Answer 1

分析 设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设条件知y₁-y₂=x₁-x₂．由中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y所以直线方程为9x+16y=0，由此可知点M的轨迹方程．

解答 解：设线段AB的中点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有9x₁²+16y₁²=144，①
9x₂²+16y₂²=144，②
①-②得9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+16（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．③
∵直线AB的斜率k=1，
∴y₁-y₂=x₁-x₂④
由中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．⑤
把④⑤代入到③中得9x+16y=0，
由：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，9x+16y=0，
得x=±$\frac{16}{5}$．
∴点M的轨迹方程为$9x+16y=0（{-\frac{16}{5}≤x≤\frac{16}{5}}）或（{-\frac{9}{5}≤y≤\frac{9}{5}}）或（椭圆内部）$，
故答案为$9x+16y=0（{-\frac{16}{5}≤x≤\frac{16}{5}}）或（{-\frac{9}{5}≤y≤\frac{9}{5}}）或（椭圆内部）$．

点评 本题考查轨迹的求法和应用，考查点差法，解题时要认真审题，仔细解答．