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现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②设
a
b
均为单位向量,若|
a
+
b
|>1则θ∈[0,
3
)

③数列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大项是第4项

④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
其中的真命题有
①②③
①②③
.(写出所有真命题的编号).
分析:①将a2-b2=1,分解变形为(a+1)(a-1)=b2,即可证明a-1<b,即a-b<1
②根据向量模的计算公式,求出|
a
+
b
|>1
时,夹角θ的范围,可判断真假
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.进而判断其真假
④根据函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,及f2(x)+2f(x)=0解方程求出方程根的个数,可判断其真假
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2
即(a+1)(a-1)=b2
∵a+1>a-1,
∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②若|
a
+
b
|>1
,则
a
2
+
b
2
+2
a
b
>1

即2+2cosθ>1,cosθ>-
1
2

又∵θ∈[0,π],
∴θ∈[0,
3
),②正确;
③由an=n(n+4)(
2
3
n
an+1
an
=
(n+1)(n+5)(
2
3
)n+1
(n)(n+4)(
2
3
)n
=
2
3
(n+1)(n+5)
(n)(n+4)
≥1,
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),
即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an
当n≥4时,an+1<an
所以a4最大,故③正确;
令f2(x)+2f(x)=0,
则f(x)=0,或f(x)=-2,
f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1

∴当f(x)=0时,
x=1,或x=0,或x=2,
当f(x)=-2时,x=10.1或x=0.99,
故方程有5个解,故④错误
故答案为:①②③
点评:本题主要考查了不等式的证明方法,间接证明和直接证明的方法,放缩法和举反例法证明不等式,演绎推理能力,有一定难度,属中档题
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设V是已知平面M上所有向量的集合,对于映射f:V→V,a∈V,记a的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a、b∈V及任意实数λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题:
①设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,则f(a+b)=f(a)+f(b);
②若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f(a)=a+e,则f是平面M上的线性变换;
③对a∈V,设f(a)=-a,则f是平面M上的线性变换;
④设f是平面M上的线性变换,a∈V,则对任意实数k均有f(ka)=kf(a).
其中的真命题是
 
(写出所有真命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②已知a>2b>0,则a2+
8
b(a-2b)
的最小值为16;
③数列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大项是第4项

④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①②③
①②③
.(写出所有真命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②△ABC若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形;
③数列{n(n+4)(
2
3
n中的最大项是第4项;
④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解;
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①③
①③
.(写出所有真命题的编号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•眉山一模)设函数f(x)对其定义域内的任意实数x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,则称函数f(x)为上凸函数. 若函数f(x)为上凸函数,则对定义域内任意x1、x2、x3,…,xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
(当x1=x2=x3=…=xn时等号成立),称此不等式为琴生不等式,现有下列命题:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函数;
②二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函数的充要条件是a>0;
③f(x)是上凸函数,若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)图象上任意两点,点C在线段AB上,且
AC
CB
,则f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ

④设A,B,C是一个三角形的三个内角,则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2

其中,正确命题的序号是
①③④
①③④
(写出所有你认为正确命题的序号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•眉山一模)设函数f(x)对其定义域内的任意实数x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,则称函数f(x)为上凸函数.现有下列命题:
①f(x)=sinx,x∈[0,π]是上凸函数;
②f(x)=lnx(x>0)是上凸函数;
③二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函数的充要条件是a>0;
④f(x)是上凸函数,若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)图象上任意两点,点C在线段AB上,且
AC
CB
,则f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ

其中,正确命题的序号是
①②④
①②④
(写出所有你认为正确命题的序号).

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