Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，a∈R．若x=3是f（x）的一个极值点，则f（x）在R上的极大值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：f′（x）=3x²-2ax+3，当x=3时有极值，所以f′（3）=0，解得a=5，确定函数的单调性，由此能求出f（x）在R上的极大值

解答： 解：f′（x）=3x²-2ax+3，
∵当x=3时有极值，所以f′（3）=0，即27+3-2a×3=0，
解得a=5．
这时，f′（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）=3x²-10x+3=0，得x₁=

1

3

，或x₂=3．
当x变化时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表可知：f（x）的极大值为f（

1

3

）=

13

27

，
故答案为：

13

27

．

点评：本题考查实数的取值，考查函数的极大值和极小值的求法，是中档题．