Question

15．若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-2x$在区间[-1，+∞）上有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据极值的定义结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-2x，∴f'（x）=x²+2ax-2，
∵函数f（x）在区间[-1，+∞）上有极大值和极小值，
∴f'（x）=x²+2ax-2=0在区间[-1，+∞）上有两个不等实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}+8＞0}\\{-a＞-1}\\{f′（-1）=1-2a-2＞0}\end{array}\right.$，解得a＜-$\frac{1}{2}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想，属中档题．