Question

11．已知函数f（x）=（ax²-bx）e^x（其中e是自然对数的底数，a，b∈R）的图象在A（0，f（0））处的切线与直线x+y+2=0垂直．
（Ⅰ）当a=-$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）≤x在[-1，0]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（0）=1，求出b的值；求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的极值点即可；
（Ⅱ）问题转化为a≤$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$在[-1，0]恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$，x∈[-1，0]，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=[ax²+（2a-b）x-b]e^x，
故k=f′（0）=-b=1，解得：b=-1，
故f（x）=（ax²+x）e^x，
a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=（-$\frac{1}{2}$x²+x）e^x，
f′（x）=（-$\frac{1}{2}$x²+1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{2}$）递减，在（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）递增，在（$\sqrt{2}$，+∞）递减，
故x=-$\sqrt{2}$是f（x）的极小值点，x=$\sqrt{2}$是f（x）的极大值点；
（Ⅱ）若f（x）≤x在[-1，0]上恒成立，
即（ax²+x）e^x≤x在[-1，0]恒成立，
问题转化为a≤$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$在[-1，0]恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$，x∈[-1，0]，
g′（x）=$\frac{{-e}^{-x}（x+1）-1}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在[-1，0]递减，
而x→0时，$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{-e}^{-x}}{1}$=-1，
故a≤-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．