Question

1．已知函数f（x）=（x+a）ln（a-x）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）当a=e时，求证：函数f（x）在x=0处取得最值．

Answer 1

分析 （I）利用f'（0）=k切线斜率，可得切线方程．
（Ⅱ）证法一：定义域（-∞，e）．函数a=e，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{x+e}{x-e}$，f（0）=e，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1$．当x∈（-∞，e）时，y=ln（e-x），$y=\frac{2e}{x-e}+1$，均为减函数，可得f'（x）在（-∞，e）上单调递减，又f'（0）=0，即可证明．
证法二：当x∈（-∞，0）时，证明f′（x）＞0，可得f（x）在（-∞，0）上单调递增；  当x∈（0，e），证明f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：因为a=1，$f'（x）=ln（1-x）+\frac{x+1}{x-1}$，…（2分）
f'（0）=-1，所以k=-1…（3分）
因为f（0）=0所以切点为（0，0），…（4分）
则切线方程为y=-x…（5分）
（Ⅱ）证明：
证法一：定义域（-∞，e）．
函数a=e，所以$f'（x）=ln（e-x）+\frac{x+e}{x-e}$…（6分），
f（0）=e，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1$．
当x∈（-∞，e）时，y=ln（e-x），$y=\frac{2e}{x-e}+1$，均为减函数      …（7分）
所以f'（x）在（-∞，e）上单调递减；  …（8分）
又f'（0）=0，
因为当x∈（-∞，0）时，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＞0$，…（9分）
f（x）在（-∞，0）上单调递增；                                …（10分）
又因为当x∈（0，e），$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＜0$…（11分）
f（x）在x∈（0，e）上单调递减；                              …（12分）
因为f（0）=0，所以f（x）在x=0处取得最大值．           …（13分）
证法二：当x∈（-∞，0）时，-x＞0，e-x＞e，ln（e-x）＞lne=1，ln（e-x）+1＞2…（7分）
又因为x＜0，$x-e＜-e，\frac{1}{x-e}＞\frac{1}{-e}，\frac{2e}{x-e}＞\frac{2e}{-e}=-2，\frac{2e}{x-e}＞-2$…（8分）
∴$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＞0$，f（x）在（-∞，0）上单调递增；        …（9分）
当x∈（0，e），-x∈（-e，0），e-x∈（0，e），ln（e-x）＜1，…（10分）
又因为x∈（0，e），$-e＜x-e＜0，\frac{1}{x-e}＜\frac{1}{-e}，\frac{2e}{x-e}＜\frac{2e}{-e}=-2，\frac{2e}{x-e}＜-2$…（11分）
∴$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＜0$，f（x）在x∈（0，e）上单调递减；       …（12分）
又因为f（0）=0，所以f（x）在x=0处取得最大值．                   …（13分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．