Question

16．如图所示，直角梯形ABCD两条对角线AC，BD的交点为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，M为线段AB上一点，AM=2MB，且AB⊥BC，AB∥CD，AB=BE=6，CD=BC=3．
（I）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，NF，由ON∥AB，及其AM=2MB，可得N=BM，即OBMN是平行四边形，可得MN$\underset{∥}{=}$OB，根据四边形OBEF为矩形，可得MN$\underset{∥}{=}$EF，四边形EMNF是平行四边形，可得EM∥NF．
即可证明EM∥平面ADF．
（II）由题意，BE⊥平面ABCD，如图所示，以B为原点，分别以$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BE}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，同理可取平面BEF的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-1，0）．利用cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$即可得出．

解答 （I）证明：过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，NF，∵ON∥AB，∴$\frac{ON}{AB}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
又AM=2MB，∴ON=BM，即OBMN是平行四边形，
∴MN$\underset{∥}{=}$OB，∵四边形OBEF为矩形，∴EF$\underset{∥}{=}$OB，∴MN$\underset{∥}{=}$EF，∴四边形EMNF是平行四边形，∴EM∥NF．
又EM?平面ADF，FN?平面ADF，∴EM∥平面ADF．
（II）解：由题意，BE⊥平面ABCD，如图所示，以B为原点，分别以$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BE}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得B（0，0，0），C（3，0，0），E（0，0，6），F（2，2，6）．
则$\overrightarrow{CE}$=（-3，0，6），$\overrightarrow{CF}$=（-1，2，6），$\overrightarrow{BE}$=（0，0，6），$\overrightarrow{BF}$=（2，2，6）．
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+6z=0}\\{-x+2y+6z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2，-2，1）．
同理可取平面BEF的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-1，0）．

∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴二面角O-EF-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．添加好友后才能回复？