Question

1．设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（其中a＞1，b＞1），x=0是f（x）的一个零点，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a+b的最小值为6．

Answer 1

分析 由题意可得f（0）=0，即c=0，求出f（x）的导数，运用导数的几何意义，可得3+ab=2（a+b），运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（其中a＞1，b＞1），x=0是f（x）的一个零点，
可得f（0）=0，即-abc=0，可得c=0，
即f（x）=x（x-a）（x-b）=x³-（a+b）x²+abx，
f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
可得3-2（a+b）+ab=0，
即3+ab=2（a+b），
由a＞1，b＞1，可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
当且仅当a=b取得等号，
即有2（a+b）≤3+（$\frac{a+b}{2}$）²，
解得a+b≥6或a+b≤2（舍去），
则当且仅当a=b=3时，取得最小值6．
故答案为：6．

点评 本题考查函数的零点的概念的运用和导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，以及运算能力，属于中档题．