Question

9．设{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．记c_n=a_n+b_n，n=1，2，3，…．
（1）若{c_n}是等差数列，求q的值；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）分别运用等差数列和等比数列的通项公式，可得a_n，b_n，再由等差数列中项的性质，解方程可得q的值；
（2）求出c_n=a_n+b_n=2n-1+q^n-1．（n=1，2，…），运用数列的求和方法：分组求和，讨论公比q为1与不为1，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 a_n=1+2（n-1）=2n-1，
{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列，
所以b_n=q^n-1．
所以c_n=a_n+b_n=2n-1+q^n-1．
因为{c_n}是等差数列，
所以2c₂=c₁+c₃，
即 2（3+q）=2+5+q²，解得q=1．
经检验，q=1时，c_n=2n，所以{c_n}是等差数列．
（2）由（1）知c_n=a_n+b_n=2n-1+q^n-1．（n=1，2，…）
所以数列{c_n}的前n项和S_n=（1+3+5+…+2n-1）+（1+q+q²+…q^n-1），
当q=1时，S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）+n=n²+n；
当q≠1时，S_n=n²+$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查分类讨论思想方法，属于中档题．