Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$•（b_n-1）（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得：a₁=$\frac{1×2}{2}$=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）c_n=${2}^{{a}_{n}}$•（b_n-1）=2ⁿ•2n=n•2ⁿ⁺¹．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得：a₁=$\frac{1×2}{2}$=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．n=1时也成立．
∴a_n=n．
∴b_n=a_n+a_n+1=n+n+1=2n+1．
（2）c_n=${2}^{{a}_{n}}$•（b_n-1）=2ⁿ•2n=n•2ⁿ⁺¹．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹．
2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、数列递推 关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．