Question

18．如图，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F₁、F₂，过点A且斜率为$\frac{1}{2}$的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P且斜率大于$\frac{1}{2}$的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S_△PAM：S_△PBN=λ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程．
（Ⅱ）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到$\overrightarrow{PM}=-\frac{λ}{2}\overrightarrow{PN}$．设MN方程：y=kx-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，利用韦达定理，求出$\overrightarrow{PM}=（{x_1}，{y_1}+1），\overrightarrow{PN}=（{x_2}，{y_2}+1）$，解出${x_1}=-\frac{λ}{2}{x_2}$，将${x_1}=-\frac{λ}{2}{x_2}$椭圆方程，然后求解实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为BF₁⊥x轴，得到点$B（-c，-\frac{b^2}{a}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ \frac{b^2}{a（a+c）}=\frac{1}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$，所以椭圆C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）因为$\frac{{{S_{△PAM}}}}{{{S_{△PBN}}}}=\frac{{\frac{1}{2}PA•PM•sin∠APM}}{{\frac{1}{2}PB•PN•sin∠BPN}}=\frac{2•PM}{1•PN}=λ⇒\frac{PM}{PN}=\frac{λ}{2}（λ＞2）$，
所以$\overrightarrow{PM}=-\frac{λ}{2}\overrightarrow{PN}$．由（Ⅰ）可知P（0，-1），设MN方程：y=kx-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得：（4k²+3）x²-8kx-8=0．即得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{8k}{{4{k^2}+3}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{-8}{{4{k^2}+3}}\end{array}\right.$（*）
又$\overrightarrow{PM}=（{x_1}，{y_1}+1），\overrightarrow{PN}=（{x_2}，{y_2}+1）$，有${x_1}=-\frac{λ}{2}{x_2}$，
将${x_1}=-\frac{λ}{2}{x_2}$代入（*）可得：$\frac{{{{（2-λ）}^2}}}{λ}=\frac{{16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$．
因为$k＞\frac{1}{2}$，有$\frac{{16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}=\frac{16}{{\frac{3}{k^2}+4}}∈（1，4）$，
则$1＜\frac{{{{（2-λ）}^2}}}{λ}＜4$且λ＞2$⇒4＜λ＜4+2\sqrt{3}$．
综上所述，实数λ的取值范围为$（4，4+2\sqrt{3}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及这些与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．