Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且f（0）•f（1）＞0，a+b+c=0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，则x₁²+x₂²的取值范围为（　　）

• A、[

  4

  9

  ，

  10

  9

  ]
• B、（

  4

  9

  ，

  10

  9

  ）
• C、[

  2

  3

  ，

  10

  3

  ]
• D、（

  2

  3

  ，

  10

  3

  ）

Answer 1

考点：导数的运算,函数的零点与方程根的关系

专题：导数的概念及应用

分析：由求出函数的导数g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，利用根与系数之间的关系得到x₁+x₂，x₁x₂的值，将x₁²+x₂²进行转化即可求出结论．

解答： 解：∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

4b2

9a2

-

2c

3a

=

4b2-6ac

9a2

，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x₁²+x₂²=

4b2-6a(-a-b)

9a2

=

4b2+6a2+6ab

9a2

=

2

9

[2(

b

a

)2+3•

b

a

+3]=

4

9

（

b

a

+

3

4

）²+

25

36

又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即（a+b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a²得，
∴（

b

a

+1）（

b

a

+2）＜0，
∴-2＜

b

a

＜-1，
∴

4

9

＜

4

9

（

b

a

+

3

4

）²+

25

36

＜

10

9

∴x₁²+x₂²的取值范围为（

4

9

，

10

9

）
故选：B

点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．