Question

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

1

7

．现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…直到袋中的球取完即终止．若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．用ξ表示甲四次取球获得的分数之和．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题设条件得到

1

7

=

C 2 n

C 2 7

=

n(n-1)

7×6

，由此能求出袋中原有白球个数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知袋中有3个白球、4个黑球，由此得到ξ可能的取值是4，5，6，7．分别求出相对应的概率，从而能求出随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，
由题意知：

1

7

=

C 2 n

C 2 7

=

n(n-1)

7×6

，
解得n=3或n=-2（舍去），
∴袋中原有3个白球；
（Ⅱ）由上得．袋中有3个白球、4个黑球．
甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白．
相应的分数之和为4分、5分、6分、7分，
即ξ可能的取值是4，5，6，7．
P(ξ=4)=

C 4 4

C 4 7

=

1

35

；
P(ξ=5)=

C 3 4 • C 1 3

C 4 7

=

12

35

；
P(ξ=6)=

C 2 4 • C 2 3

C 4 7

=

18

35

；
P(ξ=7)=

C 1 4 • C 3 3

C 4 7

=

4

35

．
∴ξ的分布列为：

ξ	4	5	6	7
P	1 35	12 35	18 35	4 35

Eξ=4×

1

35

+5×

12

35

+6×

18

35

+7×

4

35

=

40

7

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．