Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=1，

a

与

b

的夹角为

π

3

，若对一切实数x，|x

a

+2

b

|≥|

a

+

b

|恒成立，则|

b

|的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，∞）
• B、（

  1

  2

  ，∞）
• C、[1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由|

a

|=1，

a

与

b

的夹角为

π

3

，|x

a

+2

b

|≥|

a

+

b

|，化为x2

a

2+4

b

2+4x

a

•

b

≥

a

2+

b

2+2

a

•

b

，即x2+2x|

b

|+(3|

b

|2-|

b

|-1)≥0，由于对一切实数x，|x

a

+2

b

|≥|

a

+

b

|恒成立，可得△≤0，解出即可．

解答： 解：∵|

a

|=1，

a

与

b

的夹角为

π

3

，
∴|x

a

+2

b

|≥|

a

+

b

|，化为x2

a

2+4

b

2+4x

a

•

b

≥

a

2+

b

2+2

a

•

b

，
即x2+2x|

b

|+(3|

b

|2-|

b

|-1)≥0，
∵对一切实数x，|x

a

+2

b

|≥|

a

+

b

|恒成立，
∴△=4|

b

|2-4(3|

b

|2-|

b

|-1)≤0，
化为(2|

b

|+1)(|

b

|-1)≥0，解得|

b

|≥1．
故选：C．

点评：本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．