Question

已知集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}．
（1）求M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件；
（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）根据已知中集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}，结合二次不等式的解集，分a≥8，5＜a＜8，-3≤a≤5，a＜-3，几种情况分析M∩P={x|5＜x≤8}是否成立，可得结论；
（2）结合（1）中结论及充要条件的定义，任取a∈[-3，5]，如a=0，可得答案．

解答： 解：（1）∵集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}．
若a≥8，则M∩P={x|8≤x≤a}，不满足条件；
若5＜a＜8，则M∩P={x|a＜x≤8}，不满足条件；
若-3≤a≤5，则M∩P={x|5＜x≤8}，满足条件；
若a＜-3，则M∩P={x|a＜x＜-3，或5＜x≤8}，不满足条件；
故M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件为a∈[-3，5]
（2）任取a∈[-3，5]，如a=0，
则“a=0”时，M∩P={x|5＜x≤8}成立，
但“M∩P={x|5＜x≤8}”时，“a=0”不一定成立，
故a=0即为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件．
（注：任取a∈[-3，5]，均可）

点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题型．