Question

如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ADF；
（Ⅱ）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2

2

．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用已知条件证明CE∥DF，通过直线与平面平行的判定定理证明CE∥平面ADF． 
（Ⅱ）说明BE⊥平面ABCD．以B为原点，

BC

、

BA

、

BE

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面BDF的一个法向量．

AK

=（0，-2，m），利用sinφ=|

n • AK

| n || AK |

|=

|2+m|

3 • 4+m2

，利用φ的范围，推出

1

2

≤sinφ≤

2

2

，推出{

1 2 ≤ |2+m| 3 • 4+m2 ， |2+m| 3 • 4+m2 ≤ 2 2 ，

，解得m的范围，即BK的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD中，CD

∥

.

BA，正方形ABEF中，EF

∥

.

BA．…（2分）
∴EF

∥

.

CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF．…（3分）
又DF?平面ADF，CE?平面ADF，∴CE∥平面ADF． …（5分）
（Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=2

2

，∴CE²=BC²+BE²．
∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…（6分）
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD． …（7分）
以B为原点，

BC

、

BA

、

BE

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），

BD

=（2，2，0），

BF

=（0，2，2）．
设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为

n

=（x，y，z）．
由

n

•

BD

=0，

n

•

BF

=0，得

2x+2y=0 2y+2z=0

可取

n

=（1，-1，1），…（9分）
又

AK

=（0，-2，m），于是sinφ=|

n • AK

| n || AK |

|=

|2+m|

3 • 4+m2

，
∵30°≤φ≤45°，∴

1

2

≤sinφ≤

2

2

，即{

1 2 ≤ |2+m| 3 • 4+m2 ， |2+m| 3 • 4+m2 ≤ 2 2 ，

…（11分）
结合0＜m＜2，解得0＜m≤4-2

3

，即BK的取值范围为（0，4-

3

]．…（13分）

点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．