Question

5．设a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．若p：a₁，a₂，…，a_n成等比数列；q：（a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n-1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，则p是q的充分不必要条件．

Answer 1

分析 运用柯西不等式，可得：（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．

解答 解：由a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．由柯西不等式，可得：
（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
若a₁，a₂，…，a_n成等比数列，即有$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
则（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a₁=a₂=a₃=…=a_n=0，则a₁，a₂，…，a_n不成等比数列．
故p是q的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．

点评 本题考查了柯西不等式的应用、等比数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．