Question

20．在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足$\overrightarrow{BM}$=3$\overrightarrow{AM}$，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$=$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{CM}$用$\overrightarrow{CA}、\overrightarrow{CB}$表示，代入$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$得答案．

解答 解：如图，

∵$\overrightarrow{BM}$=3$\overrightarrow{AM}$，CA=CB=3，
∴$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）=\frac{3}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$=$（\frac{3}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}）•\overrightarrow{CA}=\frac{3}{2}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}=\frac{27}{2}$．
故答案为：$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查共线向量基本定理及向量加减法法则的应用，是中档题．