Question

8．为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重（单位：kg），获得的所有数据按照区间[40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间（45，50]上的女生数与体重在区间（50，60]上的女生数之比为4：3．
（1）求a，b的值；
（2）从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）根据频率和为1，列方程求出a、b的值；
（2）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．

解答 解：（1）样本中体重在区间（45，50]上的女生有
a×5×20=100a（人），
样本中体重在区间（50，60]上的女生有
（b+0.02）×5×20=100（b+0.02）（人），
依题意，有$100a=\frac{4}{3}×100（{b+0.02}）$，
即$a=\frac{4}{3}×（{b+0.02}）$，①
根据频率分布直方图可知
（0.02+b+0.06+a）×5=1，②
由①②解得a=0.08，b=0.04；
（2）样本中体重在区间（50，55]上的女生有
0.04×5×20=4人，分别记为A₁，A₂，A₃，A₄，
体重在区间（55，60]上的女生有
0.02×5×20=2人，分别记为B₁，B₂，
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁）（A₄，B₂），（B₁，B₂）；
其中体重在（55，60]上的女生至少有一人被抽中共有9种情况：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₄，B₁）（A₄，B₂），（B₁，B₂）；
记“从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，
体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M，
则$P（M）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．