Question

19．定义：如果函数f（x）在[m，n]上存在x₁，x₂（m＜x₁＜x₂＜n）满足f′（x₁）=$\frac{f（n）-f（m）}{n-m}$，f′（x₂）=$\frac{f（n）-f（m）}{n-m}$，则称函数f（x）是[m，n]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x³-x²+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，3）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 令f′（x）=3x²-2x=$\frac{f（a）-f（0）}{a-0}$=a²-a，a²-a=3x²-2x，x∈[0，a]．令g（x）=3x²-2x-a²+a，根据函数f（x）=x³-x²+a是[0，a]上“双中值函数”，可得方程3x²-2x-a²+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．必须满足：g（0）＞0，$g（\frac{1}{3}）$＜0，g（a）＞0．解出即可得出．

解答 解：令f′（x）=3x²-2x=$\frac{f（a）-f（0）}{a-0}$=a²-a，
∴a²-a=3x²-2x，x∈[0，a]．
令g（x）=3x²-2x-a²+a，
∵函数f（x）=x³-x²+a是[0，a]上“双中值函数”，
∴方程3x²-2x-a²+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．
∴g（0）＞0，$g（\frac{1}{3}）$＜0，g（a）＞0．
解得$\frac{1}{2}＜a＜$1．
∴实数a的取值范围是$（\frac{1}{2}，1）$．
故选：C．

点评 本题考查了导数的运算法则、函数的性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．