Question

17．对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m、n都为偶数或都为奇数时，m⊙n=$\frac{m+n}{2}$；当m、n为一奇一偶时，m⊙n=$\sqrt{mn}$，设集合A={（a，b）|a⊙b=4，a，b∈N*}，则集合A的子集个数为2¹⁰-1．．

Answer 1

分析 由⊙的定义，a⊙b=6分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=16；a和b同奇偶，则a+b=8．由a、b∈N^*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可．

解答 解：a⊙b=6，a、b∈N^*，
若a和b一奇一偶，则a⊙b=$\sqrt{ab}$=4，即ab=16，
满足此条件的1×16=2×8=4×4，
故点（a，b）有3个；
若a和b同奇偶，则a⊙b=$\frac{1}{2}$（a+b）=4，即a+b=8，
满足此条件的有1+7=2+6=3+5=4+4=5+3=6+2=7+1共6组，故点（a，b）有2×4-1=7个，
所以满足条件的个数3+7=10个，
故集合A的真子集的个数是2¹⁰-1个，
故答案为：2¹⁰-1．

点评 本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．