Question

已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在边AD所在的直线上．
（1）求矩形ABCD的外接圆P的方程；
（2）△AEF是圆P的内接三角形，其重心G的坐标是（1，1），求直线EF的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）根据对角线的性质以及直线方程即可求矩形ABCD的外接圆P的方程；
（2）根据三角形重心的性质，即可得到结论．

解答： 解：（1）设A点的坐标为（x，y），∵KAB=

1

3

且AB⊥AD，
∴K_AD=-3，又T（-1，1）在AD上，
∴

x-3y-6=0 y-1 x+1 =-3

，∴

x=0 y=-2

，
即A点坐标为（0，-2），
又P点是矩形ABCD两条对角线的交点，
∴P点（2，0）即为矩形ABCD外接圆的圆心，其半径r=|PA|=2

2

，
即圆P的方程为（x-2）²+y²=8．
（2）连AG延长交BC于点M（x₀，y₀）（3），则M点是EF的中点，连PM
∵G是△AEF的重心，
∴

AG

=2

GM

，
∴（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），解得

x0= 3 2 y0= 5 2

，
∵P是圆心，M是EF中点∴PM⊥EF且K_PM=-5
∴KEF=

1

5

，
即直线EF的方程为y-

5

2

=

1

5

(x-

3

2

)，
即x-5y+11=0．

点评：本题主要考查圆的方程的求解以及直线方程的应用，综合考查直线的求解．