Question

15．平行四边形ABCD中，|AB|=2，|BC|=$\sqrt{2}$，∠DAB=60°，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{EB}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overline{AF}$=2+$\frac{5\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$，再计算$\overrightarrow{AE}$•$\overline{AF}$．

解答 解：${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=2×$\sqrt{2}×cos60°$=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{5\sqrt{2}}{6}$=2+$\frac{5\sqrt{2}}{6}$．
故答案为：2+$\frac{5\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．