Question

6．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n，则S₂₀₁₇等于（　　）

• A． 3¹⁰⁰⁹-2
• B． 2×3¹⁰⁰⁷
• C． $\frac{{3}^{2104}-1}{2}$
• D． $\frac{{3}^{2014}+1}{2}$

Answer 1

分析 利用分组求和法结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：∵a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，即{a_n+2}是公比为3的等比数列，
当n是奇数时，{a_n+2}是公比为3的等比数列，首项为a₁=1，
当n是偶数时，{a_n+2}是公比为3的等比数列，首项为a₂=3，
则前2017项中含有1008个偶数，1009个奇数，
则S₂₀₁₇=S_奇数项+S_偶数项=$\frac{1-{3}^{1009}}{1-3}$+$\frac{3（1-{3}^{1008}）}{1-3}$=3¹⁰⁰⁹-2，
故选：A

点评 本题主要考查数列求和的计算，根据条件构造等比数列，利用分组求和法结合等比数列的前n项和公式是解决本题的关键．