Question

13．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最大值及此时对应x的集合
（2）若f（x）=1-$\sqrt{3}$，且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，求x．

Answer 1

分析 （1）由数量积和三角函数的运算可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，易得f（x）取最大值和对应的x的集合；
（2）由（1）可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而可得x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z，给k取值使x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1
∴当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{π}{6}$时，f（x）取最大值3，
∴此时对应x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=1-$\sqrt{3}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{3}$或2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{2π}{3}$，
∴x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，∴x=-$\frac{π}{4}$

点评 本题考查两角和与差的正余弦函数，涉及向量的数量积的运算，属基础题．