Question

已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）的最小正周期为2，且当x=

1

3

时，f（x）取得最大值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x+

1

6

）的单调递增区间，并指出该函数的图象可以由函数y=2sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
（3）在闭区间[

21

4

，

23

4

]上是否存在f（x）的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ω+φ）的形式，再利用周期公式得ω的值，最后将点（

1

3

，2）代入原函数即可解得A、B的值
（2）先求得函数f(x+

1

6

)=2sin(πx+

π

3

)，再将πx+

π

3

看做整体代入正弦函数的单调增区间，即可得此函数的单调增区间，再利用函数图象平移和伸缩变换理论写出变换过程即可
（3）因为f(x)=2sin(πx+

π

6

)，先求πx+

π

6

的范围，与正弦函数图象的对称轴对照即可得此函数的对称轴

解答：解：（1）∵函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）
∴f(x)=

A2+B2

sin(ωx+?)
而f（x）的最小正周期为2，，∴

2π

ω

=2，即ω=π
又当x=

1

3

时，f（x）取得最大值2，
∴

A2+B2=4 Asin π 3 +Bcos π 3 =2

而A、B非零，由此解得A=

3

，B=1
∴f(x)=

3

sinπx+cosπx，即f(x)=2sin(πx+

π

6

)
（2）由（1）知：f(x)=2sin(πx+

π

6

)
∴f(x+

1

6

)=2sin(πx+

π

3

)
由2kπ-

π

2

≤πx+

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z) 
得：2k-

5

6

≤x≤2k+

1

6

(k∈Z)
∴f(x+

1

6

)的单调递增区间为[2k-

5

6

，2k+

1

6

](k∈Z)
f(x+

1

6

)=2sin(πx+

π

3

)的图象可由y=2sinx，x∈R的图象先向左平移

π

3

个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

π

倍而纵坐标不变得到．
（3）∵f(x)=2sin(πx+

π

6

)
由x∈[

21

4

，

23

4

]，有πx+

π

6

∈[

65π

12

，

71π

12

]
当πx+

π

6

=

11π

2

，即x=

16

3

时，f（x）取得最大值，
∴其对称轴方程为x=

16

3

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式的运用，函数图象的平移和伸缩变换，整体代入的思想方法