Question

20．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D为BC的中点，PB=PC=$\sqrt{26}$，cos∠BPC=$\frac{5}{13}$，在△PAD中，过A作AM⊥PD于M．
（Ⅰ）求证：AM⊥PC；
（Ⅱ）若AD=3，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明：BC⊥平面PAD，可得BC⊥AM，再利用AM⊥PD，PD∩BC=D，可得AM⊥平面PBC，即可证明AM⊥PC；
（Ⅱ）由余弦定理可得BC，求出PD，可得三角形PBC的面积，再求出AM，利用等体积即可求三棱锥P-ABC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵D为BC的中点，PB=PC，
∴BC⊥PD，
∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴BC⊥PA，
∵PA∩PD=P，∴BC⊥平面PAD，
∵AM?平面PAD，∴BC⊥AM，
∵AM⊥PD，PD∩BC=D，∴AM⊥平面PBC，
∵PC?平面PBC，∴AM⊥PC；
（Ⅱ）解：∵PB=PC=$\sqrt{26}$，cos∠BPC=$\frac{5}{13}$，
∴由余弦定理可得BC=4$\sqrt{2}$，
∴PD=$\sqrt{26-8}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=12，
∵AD=3，∴PA=3，
∴AM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴V_P-ABC=V_A-PBC=$\frac{1}{3}×12×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定与性质，合理运用等体积转化是关键．