Question

15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）是最小正周期为π的偶函数，则（　　）

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减
• B． f（x）在（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$）上单调递减
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增
• D． f（x）在（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$）上单调递增

Answer 1

分析 利用两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得ω，利用函数的奇偶性取得φ，得出函数的解析式，最后利用余弦函数的性质求得答案．

解答 解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），
依题意知T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
∵函数为偶函数，
∴φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减．
故选A．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生的计算能力和细心程度．