Question

6．已知下列四个命题：
①命题“若α=$\frac{π}{4}$，则tanα=1”的逆否命题为假命题；
②命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；
③“sinθ=$\frac{1}{2}$”是“θ=30°”的充分不必要条件
④命题p：“?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\frac{3}{2}$”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q为真命题．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用逆否命题的真假判断①的正误；全称命题与特称命题的否定关系判断②的正误；充要条件判断③的正误；复合命题的真假判断④的正误．

解答 解：对于①，命题“若α=$\frac{π}{4}$，则tanα=1”的逆否命题为假命题；原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题，所以①不正确；
对于②，命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；满足全称命题与特称命题的否定关系，②正确；
对于③，“sinθ=$\frac{1}{2}$”和“θ=30°”，前者不能得到后者，但是后者一定得到前者，所以“sinθ=$\frac{1}{2}$”是“θ=30°”的必要不充分条件，所以③不正确；
对于④，命题p：“?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$sin（x₀+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$≠$\frac{3}{2}$”；p是假命题；￢p是真命题．
命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，反例α=89°，β=361°，所以q是假命题，那么（￢p）∧q为真命题不正确；
所以④不正确．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及的知识点不较多，难度中档．