Question

1．已知$f（x）=|x+\frac{1}{x}-a|+|x-\frac{1}{x}-a|+2x-2a$ （x＞0）的最小值为 $\frac{3}{2}$．则实数a=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 利用绝对值的不等式把f（x）化简，再由基本不等式求最小值，由最小值为$\frac{3}{2}$列式求得a值．

解答 解：$f（x）=|x+\frac{1}{x}-a|+|x-\frac{1}{x}-a|+2x-2a$≥$|（x+\frac{1}{x}-a）-（x-\frac{1}{x}-a）|+2x-2a$
=$|\frac{2}{x}|+2x-2a$=$\frac{2}{x}+2x-2a$$≥2\sqrt{\frac{2}{x}•2x}-2a=4-2a$，
当且仅当$\frac{2}{x}=2x$，即x=1时，上式等号成立．
由$4-2a=\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查绝对值的不等式及利用基本不等式求最值，是中档题．