Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx（x＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）确定函数的导函数，利用导数的正负，求解函数的单调区间．
（2）通过函数的单调性，从而可得函数的极值．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx，
f′（x）=x+1-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0得x＜-2或x＞1；令f′（x）＜0得-2＜x＜1，
∵x∈（0，+∞），
∴函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（2）由（1）可知函数f（x）在x=1处取得极小值$\frac{3}{2}$，无极大值．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键．