Question

6．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，${a_n}=\frac{{3{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+3}}$
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项a_n，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用条件，代入计算，可求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项a_n，证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，即可证明结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，${a_n}=\frac{{3{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+3}}$，
∴a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{3}{5}$，a₄=$\frac{1}{2}$；
（2）猜想a_n=$\frac{3}{n+2}$．
∵当n≥2时，${a_n}=\frac{{3{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+3}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{n+2}$．

点评 本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．