Question

1．△ABC中，A=60°，边$a=3\sqrt{3}$
（1）若c=3，求边b的长；
（2）当c=3时，若$\overrightarrow{CD}=\sqrt{3}\overrightarrow{DA}$，求∠DBC的大小；
（3）若$sinB=（\sqrt{3}-1）sinC$，求sinB•sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理即可解得b的值；
（2）设∠DBC=θ，则由正弦定理可得$\frac{sinθ}{cosθ}•\frac{AD}{DC}=\frac{{sin\frac{π}{6}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，解得tanθ=1，结合范围$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，即可得解∠DBC的大小；
（3）由余弦定理可得$\frac{a^2}{bc}=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-1$，利用正弦定理可求$\frac{si{n}^{2}A}{sinBsinC}$的值，即可得解sinB•sinC的值．

解答 （本题满分为16分）
解：（1）∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴27=9+b²-3b，
∴b²-3b-18=0，
∴（b+3）（b-6）=0，
∴b=6．…（4分）
（2）∵$b=6，c=3，a=3\sqrt{3}$，
∴${b^2}={a^2}+{c^2}∴B=\frac{π}{2}，C=\frac{π}{6}$，…（5分）
设∠DBC=θ，则$∠DBA=\frac{π}{2}-θ$，
在△BDC中，$\frac{CD}{sinθ}=\frac{BD}{sinC}=\frac{BD}{{sin\frac{π}{6}}}$①，在△ABD中，$\frac{AD}{{sin（\frac{π}{2}-θ）}}=\frac{BD}{{sin\frac{π}{3}}}$②…（7分）
②/①得：$\frac{sinθ}{cosθ}•\frac{AD}{DC}=\frac{{sin\frac{π}{6}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，
∴$\frac{sinθ}{cosθ}•\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，…（9分）
∴tanθ=1，∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$θ=\frac{π}{4}$即$∠DBC=\frac{π}{4}$．…（10分）
（3）∵a²=b²+c²-bc，
∴$\frac{a^2}{bc}=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-1$，…（12分）
∴$\frac{{{{sin}^2}A}}{sinB•sinC}=\frac{sinB}{sinC}+\frac{sinC}{sinB}-1=（\sqrt{3}-1）+\frac{1}{{\sqrt{3}-1}}-1=\frac{3}{2}（\sqrt{3}-1）$，…（14分）
∴$sinB•sinC=\frac{{{{sin}^2}A}}{{\frac{3}{2}（\sqrt{3}-1）}}=\frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{3}{2}（\sqrt{3}-1）}}=\frac{{\sqrt{3}+1}}{4}$．…（16分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．