Question

16．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）函数y=f（x）-b有三个零点，求b的取值范围；
（3）求f（x）在[0，t]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线斜率，然后f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求出函数的极值，要使函数y=f（x）-b有三个零点，即可求解b的取值范围；
（3）通过函数的单调性，通过分类讨论求f（x）在[0，t]上的最大值．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．可得f′（x）=x²-4，f′（1）=-3，
f（1）=$\frac{1}{3}$，f（x）在x=1处的切线方程：y-$\frac{1}{3}$=-3（x-1），
即：9x+3y-10=0
（2）函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．可得f′（x）=x²-4=0，可得：${f_{极大值}}（x）=\frac{28}{3}$，${f_{极小值}}（x）=-\frac{4}{3}$．
要函数y=f（x）-b有三个零点，即y=f（x）与y=b的图象有三个交点，则b的取值范围为：$-\frac{4}{3}＜b＜\frac{28}{3}$．
（3）1⁰t≤2，f（x）在[0，t]单调递减，f_max（x）=f（0）=4
1⁰t＞2，f（x）在[0，2]单调递减，在[2，t]单调递增．f_max（x）等于f（0）或f（t）f（t）-f（0）=$\frac{1}{3}{x^3}-4x+4-4=\frac{1}{3}t（t+2\sqrt{3}）（t-2\sqrt{3}）$
当$t≥2\sqrt{3}，f（t）≥f（0）$，f_max（x）=$\frac{1}{3}{t^3}-4t+4$
当$2＜t＜2\sqrt{3}，f（t）＜f（0）$，f_max（x）=f（0）=4．
综上所述：f_max（x）=$\left\{{\begin{array}{l}4\\{\frac{1}{3}{t^3}-4t+4}\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{0＜t＜2\sqrt{3}}\\{t≥2\sqrt{3}}\end{array}$

点评 b本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．