Question

（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴交于点M，且y₁y₂＝－1，

（Ⅰ）求证：点的坐标为；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1

试题分析：（Ⅰ）设M（x₀，0），直线l方程为x=my+x₀代入y²=x得
y²-my-x₀=0，y_1。y₂是此方程的两根
∴ x₀＝－y₁y₂＝1 ①  即M点坐标是（1，0） （4分）
证明：（Ⅱ）∵ y₁y₂＝－1　∴  x₁x₂+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴  OA⊥OB  （8分）
（Ⅲ）由方程①得y₁＋y₂＝m，y₁y₂＝－1，又|OM|＝x₀＝1，
，
∴ 当m=0时，S_△AOB取最小值1。  （13分）
点评：直线与抛物线位置关系常联立方程，利用韦达定理求解