Question

8．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0＜α＜$\frac{π}{2}$时，sinα＜α＜tanα．

Answer 1

分析 由题意作出三角函数线，进而比较S_△AOP，S_扇形AOP，S_△AOT的大小，可得答案．

解答 证明：在直角坐标系中结合单位圆作出锐角α的正弦线和正切线，

由图可知sinα=MP，α=$\widehat{AP}$，tanα=AT，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$×MP×1=$\frac{1}{2}$sinα，
S_扇形AOP=$\frac{1}{2}$×$\widehat{AP}$×1=$\frac{1}{2}$α，
S_△AOT=$\frac{1}{2}$×AT×1=$\frac{1}{2}$tanα，
∵S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，
∴MP＜$\widehat{AP}$＜AT，
即sinα＜α＜tanα，

点评 本题考查单位圆与三角函数线，难度不大，属基础题．