Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+acos（B+C）=0，若$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，则a+b等于（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理和正弦定理，利用三角函数的恒等变换，求得A、B、C的关系，再利用正弦定理计算a+b的值．

解答 解：△ABC中，bsinA+acos（B+C）=0，
∴bsinA-acosA=0，
由正弦定理得sinBsinA-sinAcosA=0，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinB-cosA=0，即cosA=sinB；
∴cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sinB，
∴$\frac{π}{2}$+A+B=π，即C=A+B=$\frac{π}{2}$；
或B=$\frac{π}{2}$+A，即B-A=$\frac{π}{2}$；
又∵sinC=$\frac{3}{5}$，∴B-A=$\frac{π}{2}$，
∴cosC=sin（$\frac{π}{2}$-C）=sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，
∴1+2sinAcosA=（sinA+cosA）²=$\frac{9}{5}$，
解得sinA+cosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
∴a+b=$\frac{c}{sinC}$（sinA+sinB）=$\frac{10}{3}$（sinA+cosA）=$\frac{10}{3}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦定理与三角形内角和定理的应用问题，是综合题．