Question

5．甲、乙、丙三人玩抽红包游戏，现将装有5元、3元、2元的红包各3个，放入一不透明的暗箱中并搅拌均匀，供3人随机抽取．
（Ⅰ）若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．
（Ⅱ）若甲、乙、丙按下列规则抽取：
①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；
②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次轮流；
③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．
求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A为“甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元”，利用互斥事件概率加法公式能求出甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设事件A为“甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元”，
则甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率：
P（A）=$\frac{{C}_{6}^{3}+{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{13}{42}$．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{9}^{1}}+\frac{{A}_{6}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{9}^{2}}+\frac{{A}_{6}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{9}^{3}}$=$\frac{16}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{6}^{3}}{{A}_{9}^{3}}$（$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{1}}+\frac{{A}_{3}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}+\frac{{A}_{3}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{3}}$）=$\frac{19}{84}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{6}^{6}}{{A}_{9}^{6}}=\frac{1}{84}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{16}{21}$	$\frac{19}{84}$	$\frac{1}{84}$

EX=$1×\frac{16}{21}+2×\frac{19}{84}+3×\frac{1}{84}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．